Logaritmos decimales y logaritmos naturales
Cuando la base de un logaritmo es 10, los logaritmos se llaman decimales, en ellos no es necesario indicar la base, es decir que:
Log 10 x= Log x
Otros logaritmos que se utilizan con mucha frecuencia son los logaritmos naturales o neperianos (se los escribe ln). Estos logaritmos tiene como base un número especial: el número e[1]
ln x= Log e x
Con la calculadora científica se pueden obtener logaritmos decimales pulsando la tecla Log y los logaritmos naturales pulsando la tecla ln
Cambio de base
Supongamos que queremos averiguar el Log 3 243 utilizando la calculadora científica.
Podemos proceder así: según la definición de logaritmo; Log 3 243= x => 3x = 243
Aplicamos logaritmos decimales a ambos miembros: log 3x = log 243
Aplicamos la propiedad para “bajar” el exponente: x. log3= log243
Despejamos x: x= log243 = 2,8356…= 5
log3 0.4771
Este procedimiento se llama cambio de base, y nos permite cambiar la base b de un logaritmo por otra conveniente (hemos elegido 10 porque es la que tenemos en la calculadora, podríamos haber elegido e también).
En general si llamamos w a la base elegida, podemos aplicar directamente la siguiente fórmula:
Log b a= Log w a la nueva base que elegiremos será 10 o e
Log w b
Ejemplos:
Log 2= 256= log 256 = 2.482 = 8 o bien Log 2= 256= ln 256= 5.545 = 8
log 2 16.609 ln 2 46.69
Demuestro:
Dado un número N, si b es la base de un sistema de logaritmos y si el logaritmo de N en esa base es y, se verifica:
Log b N= y ó N= by
Si a es la base de otro sistema de logaritmos y x es el logaritmo de N en esa base, se verifica:
Log a N= x ó N= ax
Si el logaritmo del número b en la base a es µ entonces: Log a b= µ ó b= aµ
De donde: by = aµy
Pero: by = N
Por lo tanto: N= aµy
Y como: N= ax resulta ax = aµy => x= µ. y (1)
Pero: x= Log a N; Log a b= µ e y= Log b N
Reemplazando en (1) se tiene: Log a N = Log a b. Log b N
Despejando: Log b N = Log a N
Log a b
[1] El número e es irracional y puede obtenerse, con la aproximación deseada, dando valores muy grandes a x en la expresión: y= (1+1/x)x .
El valor aproximado de e se obtiene con la calculadora científica mediante la función ex para x=1.
Los logaritmos en base e se llaman neperianos, en honor al matemático escocés John Nepier a quien se le atribuye su invención.
Nepier (o Neper) publicó en 1614 un tratado, al que llamó Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos, que acusó gran impacto entre los hombres de ciencia de la época, pues mediante su aplicación, se conseguía facilitar significativamente los cálculos numéricos largos y difíciles con los que se encontraban especialmente los astrónomos y navegantes.
