Cambio de Base

Logaritmos decimales y logaritmos naturales

Cuando la base de un logaritmo es 10, los logaritmos se llaman decimales, en ellos no es necesario indicar la base, es decir que:

            Log ₁₀ x= Log x

Otros logaritmos que se utilizan con mucha frecuencia son los logaritmos naturales o neperianos (se los escribe ln). Estos logaritmos tiene como base un número especial: el número e[1]

ln x= Log _e x

            Con la calculadora científica se pueden obtener logaritmos decimales pulsando la tecla Log y los logaritmos naturales pulsando la tecla ln 

Cambio de base

Supongamos que queremos averiguar el Log ₃ 243 utilizando la calculadora científica.

Podemos proceder así: según la definición de logaritmo; Log ₃ 243= x => 3^x = 243

Aplicamos logaritmos decimales a ambos miembros: log 3^x = log 243

Aplicamos la propiedad para “bajar” el exponente: x. log3= log243

Despejamos x:                                                x= log243  = 2,8356…= 5

                                                                                         log3           0.4771

Este procedimiento se llama cambio de base, y nos permite cambiar la base b de un logaritmo por otra conveniente (hemos elegido 10 porque es la que tenemos en la calculadora, podríamos haber elegido e también).

En general si llamamos w a la base elegida, podemos aplicar directamente la siguiente fórmula:

            Log _b a= Log _w a         la nueva base que elegiremos será 10 o e

                           Log _w b

Ejemplos:

            Log ₂₌ 256= log 256 = 2.482 = 8       o bien   Log ₂₌ 256= ln 256= 5.545 = 8

                                   log 2    16.609                                                ln 2      46.69

Demuestro:

Dado un número N, si b es la base de un sistema de logaritmos y si el logaritmo de N en esa base es y, se verifica:

                        Log _b N= y  ó N= b^y

Si a es la base de otro sistema de logaritmos y x es el logaritmo de N en esa base, se verifica:

                        Log _a N= x  ó N= a^x

Si el logaritmo del número b en la base a es µ entonces: Log _a b= µ ó b= a^µ   

De donde:                                                                              b^y = a^µy

Pero:                                                                                      b^y = N

Por lo tanto:                                        N= a^µy

Y como:                                              N= a^x       resulta a^x = a^µy  => x= µ. y  (1)

Pero:                                                   x= Log _a N;  Log _a b= µ   e y= Log _b N 

Reemplazando en (1) se tiene: Log _a N = Log _a b. Log _b N 

Despejando:                                        Log _b N  = Log _a N

                                                                                          Log _a b

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[1] El número e es irracional y puede obtenerse, con la aproximación deseada, dando valores muy grandes a x en la expresión: y= (1+1/x)^x .

El valor aproximado de e se obtiene con la calculadora científica mediante la función e^x para x=1.

Los logaritmos en base e se llaman neperianos, en honor al matemático escocés John Nepier a quien se le atribuye su invención.

Nepier (o Neper) publicó en 1614 un tratado, al que llamó Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos, que acusó gran impacto entre los hombres de ciencia de la época, pues mediante su aplicación, se conseguía facilitar significativamente los cálculos numéricos largos y difíciles con los que se encontraban especialmente los astrónomos y navegantes.